|
جزء صحیح اعداد زیر را به دست آورید و در صورت نیاز از محور اعداد استفاده کنید.
$$\lfloor -3.4 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor -2 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor -1.9 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor 0.4 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor -0.4 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor 4.25 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor \frac{41}{37} \rfloor = \dots$$
$$\lfloor 2.3 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor 1.7 \rfloor = \dots$$
$$\lfloor -\frac{13}{51} \rfloor = \dots$$
جزء صحیح یک عدد ($x$) که با $\lfloor x \rfloor$ نشان داده میشود، **بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی $x$** است.
$$\lfloor -3.4 \rfloor = -4$$
$$\lfloor -2 \rfloor = -2$$
$$\lfloor -1.9 \rfloor = -2$$
$$\lfloor 0.4 \rfloor = 0$$
$$\lfloor -0.4 \rfloor = -1$$
$$\lfloor 4.25 \rfloor = 4$$
$$\text{تبدیل کسر: } \frac{41}{37} \approx 1.108 \Rightarrow \lfloor \frac{41}{37} \rfloor = 1$$
$$\lfloor 2.3 \rfloor = 2$$
$$\lfloor 1.7 \rfloor = 1$$
$$\text{تبدیل کسر: } -\frac{13}{51} \approx -0.25 \Rightarrow \lfloor -\frac{13}{51} \rfloor = -1$$
حاصل $\lfloor 1 \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \dots + \lfloor \sqrt{80} \rfloor$ را به دست آورید.
ما باید جزء صحیح $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ را برای $n$ از $1$ تا $80$ محاسبه کنیم. مقدار $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ زمانی تغییر میکند که $n$ به مربع کامل بعدی برسد.
$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k \quad \text{اگر } k^2 \le n < (k + 1)^2$$
**۱. دستهبندی عبارات بر اساس مقدار جزء صحیح ($k$)**
| مقدار $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ | بازهٔ $n$ ($k^2 \le n < (k+1)^2$) | تعداد جملات | حاصل جمع |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k = 1$ | $1^2 \le n < 2^2 \Rightarrow 1 \le n \le 3$ | $3 - 1 + 1 = 3$ | $3 \times 1 = 3$ |
| $k = 2$ | $2^2 \le n < 3^2 \Rightarrow 4 \le n \le 8$ | $8 - 4 + 1 = 5$ | $5 \times 2 = 10$ |
| $k = 3$ | $3^2 \le n < 4^2 \Rightarrow 9 \le n \le 15$ | $15 - 9 + 1 = 7$ | $7 \times 3 = 21$ |
| $k = 4$ | $4^2 \le n < 5^2 \Rightarrow 16 \le n \le 24$ | $24 - 16 + 1 = 9$ | $9 \times 4 = 36$ |
| $k = 5$ | $5^2 \le n < 6^2 \Rightarrow 25 \le n \le 35$ | $35 - 25 + 1 = 11$ | $11 \times 5 = 55$ |
| $k = 6$ | $6^2 \le n < 7^2 \Rightarrow 36 \le n \le 48$ | $48 - 36 + 1 = 13$ | $13 \times 6 = 78$ |
| $k = 7$ | $7^2 \le n < 8^2 \Rightarrow 49 \le n \le 63$ | $63 - 49 + 1 = 15$ | $15 \times 7 = 105$ |
| $k = 8$ | $8^2 \le n \le 80 \Rightarrow 64 \le n \le 80$ | $80 - 64 + 1 = 17$ | $17 \times 8 = 136$ |
**۲. محاسبهٔ حاصل جمع کل**
حاصل جمع کل برابر با مجموع مقادیر ستون آخر است:
$$3 + 10 + 21 + 36 + 55 + 78 + 105 + 136 = 444$$
$$\text{حاصل عبارت}: 444$$
حاصل $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor$ را به ازای $x = -\frac{5}{3}$ به دست آورید.
ابتدا مقادیر $x$, $2x$ و $3x$ را محاسبه میکنیم:
$$x = -\frac{5}{3} = -1.666\dots$$
$$2x = 2 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{10}{3} = -3.333\dots$$
$$3x = 3 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -5$$
سپس جزء صحیح هر یک از این مقادیر را محاسبه میکنیم:
$$\lfloor x \rfloor = \lfloor -1.666\dots \rfloor = -2$$
$$\lfloor 2x \rfloor = \lfloor -3.333\dots \rfloor = -4$$
$$\lfloor 3x \rfloor = \lfloor -5 \rfloor = -5$$
در نهایت، حاصل جمع آنها را به دست میآوریم:
$$\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = -2 + (-4) + (-5) = -11$$
$$\text{حاصل عبارت}: -11$$
معادلات مقابل را حل کنید.
الف) $\lfloor x - 1 \rfloor = 2$
ب) $\lfloor 2x + 3 \rfloor = -1$
از تعریف جزء صحیح $\lfloor A \rfloor = k \iff k \le A < k + 1$ استفاده میکنیم.
## الف) حل $\lfloor x - 1 \rfloor = 2$
با استفاده از تعریف جزء صحیح:
$$2 \le x - 1 < 3$$
برای تنها کردن $x$، به هر سه طرف نامساوی عدد $1$ را اضافه میکنیم:
$$2 + 1 \le x - 1 + 1 < 3 + 1$$
$$3 \le x < 4$$
$$\text{مجموعهٔ جواب}: [3, 4)$$
## ب) حل $\lfloor 2x + 3 \rfloor = -1$
با استفاده از تعریف جزء صحیح:
$$-1 \le 2x + 3 < 0$$
**۱. تنها کردن $2x$**: به هر سه طرف نامساوی عدد $-3$ را اضافه میکنیم:
$$-1 - 3 \le 2x + 3 - 3 < 0 - 3$$
$$-4 \le 2x < -3$$
**۲. تنها کردن $x$**: هر سه طرف نامساوی را بر $2$ تقسیم میکنیم:
$$\frac{-4}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{-3}{2}$$
$$-2 \le x < -1.5$$
$$\text{مجموعهٔ جواب}: [-2, -1.5)$$
جاهای خالی را در جدول مقابل پر کنید و به کمک آن ضابطهٔ تابع زیر را تکمیل کنید.
$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Z} \\ \dots & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$$
| $x$ | $-x$ | $\lfloor x \rfloor$ | $\lfloor -x \rfloor$ | $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $1$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $-2$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{3}{2}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\sqrt{2}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $0$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
## ۱. تکمیل جدول
| $x$ | $-x$ | $\lfloor x \rfloor$ | $\lfloor -x \rfloor$ | $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $0$ |
| $-2$ | $2$ | $-2$ | $2$ | $0$ |
| $\frac{3}{2} = 1.5$ | $-1.5$ | $1$ | $-2$ | $-1$ |
| $\frac{1}{2} = 0.5$ | $-0.5$ | $0$ | $-1$ | $-1$ |
| $\sqrt{2} \approx 1.41$ | $-\sqrt{2} \approx -1.41$ | $1$ | $-2$ | $-1$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
## ۲. تکمیل ضابطهٔ تابع
از جدول مشخص است:
* اگر $x$ یک عدد صحیح باشد ($x \in \mathbb{Z}$)، مجموع $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = 0$ است.
* اگر $x$ یک عدد غیرصحیح باشد ($x \notin \mathbb{Z}$)، مجموع $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = -1$ است.
$$\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Z} \\ \mathbf{-1} & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$$
